Родился 12 января 1872 года в семье мелкого служащего при феодосийском городском управлении. С двенадцати лет он воспитывался в доме известного в Феодосии фабриканта Ивана Егоровича Шмитта.
С семи лет К.Ф. Богаевский не расставался с карандашом. Первым его художественным впечатлением была олеография "Извержение Везувия", случайно оказавшаяся у родителей.
В Феодосии юный художник брал уроки у знаменитого мариниста И. К. Айвазовского.
Богаевского не пугали трудности: с молодых лет он взял себе за правило ежедневно работать, искать формы и способ изображения, непрестанно проводя опыты на пленэре и в мастерской. Художник считал большой радостью весь день посвящать живописи.
В 1891 г. Богаевский поступил в Петербургскую Академию художеств. Позднее он попадает в мастерскую А.И. Куинджи, замечательного педагога, лелеявшего своеобразие талантов, мудрого "учителя жизни" (Н. К. Рерих), из мастерской которого вышли А.А. Рылов, Н. К Рерих, В.-К. Е. Пурвит, А. А. Борисов и др. Вместе с Куинджи ученики совершают поездку по Европе. Куинджи учил видеть – и категорически запрещал писать картины по этюдам. Зато каждое лето сам писал вместе с учениками с натуры в Крыму.
Впервые выставляется в 1898 году в «Новом обществе художников», будучи одним из его основателей. Впоследствии вступает в Союз русских художников, становится членом «Мира искусства», других творческих объединений.
Многолетний повседневный труд принес свободу владения кистью. Богаевский всегда отделял работу с натуры, этюды от создания самой картины. Замысел зрел параллельно занятиям на пленэре, это был плод его раздумий, концентрация впечатлений, снов, фантазий.
С 1900 года живёт и работает в Феодосии, целиком посвятив себя «туманом, и мглой, и тоскою повитой Киммерии печальной области» (Гомер, «Одиссея»).
В годы Первой мировой войны Богаевский был мобилизован в рабочую роту под Севастополь. Лишившись возможности писать, но не способности творить, он создаст свои картины "внутри себя", едва успевая зарисовывать эти композиции во время короткого отдыха.
В годы революции Богаевский был членом Феодосийского литературно-артистического кружка, куда входили О. Э. Мандельштам, А. К Герцык, С. Я. Парнок, М. А. Волошин и др. По поручению Общества охраны памятников искусства зарисовывал исторические памятники Крыма.
Богаевский погиб в Феодосии 17 февраля 1943 при взрыве авиабомбы. Работы художника хранятся во многих музеях России.